Начальный уровень

Равносторонний треугольник. Иллюстрированный гид (2019)

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства.

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме, значит, каждый по.

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник :

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка - центр треугольника. Значит, - радиус описанной окружности (обозначили его), а - радиус вписанной окружности (обозначим).

Но ведь точка - ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении, считая от вершины.

Поэтому, то есть.

Давай удостоверимся в этом.

Равносторонний треугольник. Высота

Рассмотрим - он прямоугольный.

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

А это почему?

Мы уже выяснили, что точка - не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .

Величину мы уже находили. Теперь подставляем:

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Это уже теперь должно быть совсем ясно

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, - это то, что все его углы известны - равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны: .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

В этой публикации для вас очередная задача по планиметрии. Она относится к заданиям повышенной сложности (профильный уровень). Но, как вы увидите, никакой особой трудности на самом деле процесс решения не представляет. Такую задачу можно считать подарком на экзамене. Итак, приступим!

В правильный треугольник со стороной «a» вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.

*Справка! Что такое геометрическая прогрессия? Это такая последовательность, когда каждый следующий её член равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Простой пример: 3, 6, 12, 24, 48 …. Предыдущий член последовательности умножен на 2 и получен следующий. Число «2» называется знаменателем геометрической прогрессии.

а) Построим правильный треугольник, впишем окружность, в неё впишем треугольник и в него ещё окружность (на этом остановимся):

Давайте назовём окружности (от большей к меньшей) просто «первая» и «вторая». Отметим, что радиус первой (большей) окружности будет вдвое больше радиуса второй (в прямоугольном треугольник катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).

Что получается с площадями окружностей? Имеем:

То есть площадь второй окружности в четыре раза меньше площади первой. Если далее рассматривать вписанные окружности относительно друг друга, то получим такую же связь (зависимость) их площадей относительно друг друга, то есть площадь каждой последующей будет в 4 раза меньше площади предыдущей. Запишем подробнее:

*Общая формула геометрической прогрессии имеет вид:

Таким образом, мы мы получили геометрическую прогрессию. Знаменатель её равен ¼. Доказано!

б) Формула бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:

Значит сумма площадей всех кругов будет равна:

Теперь выразим радиус первой окружности через сторону треугольника равную «а». Имеем (если сторона равна «а», то половина стороны равна 0,5а):

Таким образом, получим:

Второй подход к решению.

а) Так как радиусы соседних окружностей отличаются в два раза, то получается что коэффициент подобия равен 0,5 (окружности всегда подобны). Можем записать:

Это есть геометрическая прогрессия.

б) Теперь вычислим сумму площадей кругов. Пусть

Известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети его высоты, то есть:

Значит площадь круга будет равна:

Записываем ответ.

Материал разработан совместно с Евгением Масловым, репетитором по математике (учебный город Челябинск).

С уважением, Александр Крутицких.

Инструкция

Если у вас есть возможность использовать при построении транспортир, начните с выбора произвольной точки на окружности, которая должна стать одной из вершин правильного . Обозначьте ее, например, буквой А.

Начертите вспомогательный отрезок, соединив А с центром окружности. К этому отрезку приложите транспортир таким образом, чтобы нулевое деление совпало с центром круга, и поставьте вспомогательную точку у отметки 120°. Через эту точку проведите еще один вспомогательный отрезок с началом в центре круга на пересечении с окружностью . Точку пересечения обозначьте буквой В - это вторая вершина вписанного треугольника .

Повторите предыдущий шаг, но транспортир прикладывайте ко второму вспомогательному отрезку, а точку пересечения с окружностью обозначьте буквой С. Больше транспортир не понадобится.

Если транспортира нет, но есть циркуль и , то начните с вычисления длины стороны треугольника . Вы наверняка знаете, что ее можно выразить через радиус описанной окружности, умножив его на тройки к квадратному корню из тройки, то есть примерно на 1,732050807568877. Округлите это до нужной степени точности и умножьте на радиус круга.

Отложите на циркуле найденную на пятом шаге длину стороны треугольника и вспомогательный круг с центром в точке А. Точки пересечения двух окружностей обозначьте буквами В и С - это две другие вершины вписанного в круг правильного треугольника .

Соедините точки А и В, В и С, С и А и построение будет завершено.

Если окружность касается всех трех сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.

Вам понадобится

• линейка, циркуль

Инструкция

Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;

Тоже самое проделывают с любым другим углом;

Источники:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Правильный треугольник - тот, у которого все стороны обладают одинаковой длиной. Исходя из этого определения, построение подобной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

• Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

Обратите внимание

В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет

Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это означает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Любой правильный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное утверждение не верно.

Совет 4: Как находить площадь треугольника, вписанного в окружность

Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от того, какая величина известна из условия задачи. Если даны основание и высота треугольника, площадь можно найти путем вычисления произведения половины основания на высоту. При втором способе площадь вычисляется через описанную окружность около треугольника.

Инструкция

В задачах по планиметрии приходится находить площадь многоугольника, вписанного в круг или описанного около него. Многоугольник считается описанным около круга, если он находится снаружи, а его стороны касаются окружности. Многоугольник, находящийся внутри круга, считается вписанным в него, если его лежат круга. Если в задаче дан , который вписан , все три его вершины касаются окружности. В зависимости от того, какой именно рассматривается треугольник, и выбирается способ задачи.

Наиболее простой случай , когда в вписан правильный треугольник. Поскольку у такого треугольника все , радиус окружности равен половине его высоты. Поэтому, треугольника, можно найти его площадь. Вычислить эту площадь в данном случае можно любым из способов, например:
R=abc/4S, где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника

Другая ситуация возникает, когда треугольник - равнобедренный. Если основание треугольника совпадает с линией диаметра окружности или диаметр одновременно является и высотой треугольника, площадь можно вычислить по следующим образом:
S=1/2h*AC, где AC - основание треугольника
Если известен радиус окружности , его углы, а также основание, совпадающее с диаметром окружности, по теореме Пифагора может быть найдена неизвестная высота. Площадь треугольника, основание которого совпадает с диаметром окружности, равна:
S=R*h
В другом случае, когда высота равна диаметру окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, его площадь равна:
S=R*AC

В ряде задач в окружность вписан прямоугольный треугольник. В таком случае, центр окружности лежит на середине гипотенузы. Зная углы и основание треугольника, можно вычислить площадь любым из описанных выше способов.
В остальных случаях, особенно, когда треугольник является остроугольным или тупоугольным, применима лишь первая из указанных выше формул.

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.

Инструкция

Начертите окружность . Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность , поворачивая циркуль вправо и влево.

Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.

Нарисуйте окружность . Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).

Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.

Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.

Далее описывается по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра . Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.

Проведите две дуги до пересечения с окружность ю, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.

Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность . Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.

Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность .

Рассмотрите задачу по вписыванию в окружность . Нарисуйте окружность . Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя циркуля, проведите дугу до пересечения с окружность ю. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.

Видео по теме

Являющиеся одной из неотъемлемых частей школьной программы, геометрические задачи на построение правильных многоугольников достаточно тривиальны. Как правило, построение ведется путем вписывания многоугольника в окружность , которая вычерчивается первой. Но что делать, если окружность задана, а фигура весьма сложна?

Вам понадобится

• - линейка;
• - циркуль;
• - карандаш;
• - лист бумаги.

Инструкция

Постройте отрезок прямой, перпендикулярной AB и разделяющий его в точке пересечения на две равные части. Поставьте иглу циркуля в точку A. Поставьте ножку с грифелем в точку B, либо в любую точку отрезка, находится ближе к B чем к A. Начертите окружность . Не меняя раствор ножек циркуля установите его иглу в точку B. Начертите еще одну окружность .Вычерченные окружности пересекутся в двух . Проведите через них отрезок прямой. Обозначьте точку пересечения данного отрезка с отрезком AB как C. Обозначьте точки пересечения этого отрезка с первоначальной окружность ю как D и E.

Постройте к отрезку DE, делящий его пополам. Произведите действия, аналогичные тем, что были описаны в предыдущем шаге, по отношению к отрезку DE. Пусть вычерченный отрезок пересекает DE в точке O. Данная точка будет являться центром окружности. Также обозначьте точки пересечения построенного перпендикуляра с первоначальной окружность ю как F и G.

Установите раствор ножек циркуля таким образом, чтобы расстояние между их концами было радиусу первоначальной окружности. Для этого поместите иглу циркуля в одну из точек A, B, D, E, F или G. Конец ножки с грифелем поместите в точку O.

Постройте правильный шестиугольник. Установите иглу циркуля в любую точку линии окружности. Обозначьте эту точку H. В по часовой стрелке сделайте циркулем дугообразную засечку так, чтобы она пересекала линию окружности. Обозначьте эту точку I. Переместите иглу циркуля в точку I. Снова сделайте засечку на окружности и обозначьте полученную точку J. Аналогичным образом постройте точки K, L, M. Последовательно попарно соедините точки H, I, J, K, L, M, H. Полученная

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.