Равноускоренное криволинейное движение

Криволинейные движения - движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение - это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

Неравномерное движение. Скорость при неравномерном движении

Ни одно тело не движется все время с постоянной скоростью. Начиная движение, автомобиль движется быстрее и быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но потом он тормозит и останавливается. При этом автомобиль проходит разные расстояния за один и то же время.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит неодинаковые отрезки пути, называется неравномерным. При таком движении величина скорости не остается неизменной. В таком случае можно говорить лишь о средней скорости.

Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело проходит за единицу времени. Она равна отношению перемещения тела до времени движения. Средняя скорость, как и скорость тела при равномерном движении, измеряется в метрах, разделенных на секунду. Для того, чтобы характеризовать движение точнее, в физике применяют мгновенную скорость.

Скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость является векторной величиной и направлена так же, как вектор перемещения. Измерить мгновенную скорость можно с помощью спидометра. В Системе Интернациональной мгновенная скорость измеряется в метрах, разделенных на секунду.

точка движение скорость неравномерный

Движение тела по окружности

В природе и технике очень часто встречается криволинейное движение. Оно сложнее прямолинейного, так как существует множество криволинейных траекторий; это движение всегда ускоренное, даже когда модуль скорости не меняется.

Но движение по любой криволинейной траектории можно приблизительно представить как движение по дугам круга.

При движении тела по окружности направление вектора скорости меняется от точки к точке. Поэтому когда говорят о скорости такого движения, подразумевают мгновенную скорость. Вектор скорости направлен по касательной к окружности, а вектор перемещения - по хордам.

Равномерное движение по окружности - это движение, во время которого модуль скорости движения не изменяется, изменяется только ее направление. Ускорение такого движения всегда направлено к центру окружности и называется центростремительным. Для того чтобы найти ускорение тела, которое движется по кругу, необходимо квадрат скорости разделить на радиус окружности.

Помимо ускорения, движение тела по кругу характеризуют следующие величины:

Период вращения тела - это время, за которое тело совершает один полный оборот. Период вращения обозначается буквой Т и измеряется в секундах.

Частота вращения тела - это число оборотов в единицу времени. Частота вращения обозначается буквой? и измеряется в герцах. Для того чтобы найти частоту, надо единицу разделить на период.

Линейная скорость - отношение перемещения тела до времени. Для того чтобы найти линейную скорость тела по окружности, необходимо длину окружности разделить на период (длина окружности равна 2? умножить на радиус).

Угловая скорость - физическая величина, равная отношению угла поворота радиуса окружности, по которой движется тело, до времени движения. Угловая скорость обозначается буквой? и измеряется в радианах, разделенных на секунду. Найти угловую скорость можно, разделив 2? на период. Угловая скорость и линейная между собой. Для того чтобы найти линейную скорость, необходимо угловую скорость умножить на радиус окружности.

Рисунок 6. Движение по окружности, формулы.

В некоторых задачах используется понятие "плавучесть", означающее разность между подъемной силой Архимеда и силой тяжести. Звездочкой помечены задачи повышенной сложности (варианты 158-167).

Задача 114. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти: 1) наименьшую скорость вращения ведерка, при которой в высшей точке вода из него не выливается, 2) натяжение веревки при этой скорости в высшей и низшей точках окружности. Масса ведерка с водой 2 кг.

Задача 115. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями веревки равна 9,8 Н.

Задача 116. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиною в 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Скорость вращения гирьки соответствует 2 об/с. Найти натяжение нити.

Задача 117. Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска?

Задача 118. Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 25 кН.

Задача 119. Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каков должен быть радиус “мертвой петли”, чтобы наибольшая сила, прижимающая летчика к сидению, была равна: пятикратному весу летчика? 2) десятикратному весу летчика?

Задача 120.

Задача 121. Найти силу тяготения, действующую со стороны Земли на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны принять равными 384 000 км.

Задача 122. Спутник делает 16 оборотов за время одного оборота Земли. Определить период, высоту и скорость спутника, считая его орбиту круговой.

Задача 123. Трамвайный вагон массой 5 тонн идет по закруглению радиусом 128 м. Найти силу бокового давления колес на рельсы при скорости движения 9 км/ч.

Задача 124. Гирька, привязанная к нити длиною 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Какому числу оборотов в минуту соответствует скорость вращения гирьки? (59 об/мин)

Задача 125. Шарик на веревке длиной 50 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти, при какой частоте вращения веревка оборвется, если предел прочности веревки mg, где m - масса шарика.

Задача 126. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны в 100 м. Насколько при этом он должен накрениться, чтобы не упасть при повороте?

Задача 127. Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

Задача 128. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.

Задача 129. С увеличением высоты полета спутника его скорость уменьшилась с 7,79 до 7,36 км/с. Определить, на сколько изменились период вращения спутника и удаленность его от земной поверхности.

Задача 130. Определить период вращения искусственного спутника вблизи планеты, которую можно принять за однородный шар плотностью ρ.

Задача 131. Спутник вывели на круговую орбиту со скорость v над полюсом Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли.

Задача 132. Найти массу Земли, если спутник, движущийся в ее экваториальной плоскости с запада на восток по круговой орбите радиуса R=2∙10 4 км, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ=11,6 ч.

Задача 133. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01mg м. Т = 0.01mg . Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1mV .Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 134. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения F=-k 2 mOM, k = 20 с –1 g = 9.8 м/с , v x 0 = 200 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy

Задача 135. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии H=100 м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001mg . Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.

Задача 136. Точка M массы m = 5 кг O k = 20 c –1 , r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M 0 (a ,0), a = 24 м , и скорость v 0 с проекциями v x 0 = 0, v y 0 = 4 м/с . Определить закон движения и траекторию точки M

Задача 137. р = 0.001mg , начинает подниматься с глубины H=150 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги T=mg. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 138. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U 0 = 0.5 м/с р = 0.5mg , начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.

Задача 139. Телу M массы m = 8 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 18 м/с , направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y g = 9.8 м/с x (t ), y (t ).

Рис.39

Задача 140. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U 0 = 0.5 м/с , получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R=-0,05mV.Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.

Задача 141. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда м достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v 0 и . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с Начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 142. Береговое орудие, расположенное на высоте H=150 м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U 0 = 1500 м/с . Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t ), y (t ), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость снаряда.

Задача 143. Определить закон движения x (t ), y (t ) материальной точки M массы m = 8 кг , притягиваемой к неподвижному центру O k = 12 c –1 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 18 м , , v y 0 = 6 м/с . Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 144. Материальная точка массы m Oxy под действием силы, направленной параллельно оси x. Модуль силы изменяется по закону F=3t 2 . Начальная скорость м/с направлена под углом к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x ).

Задача 145. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 12 c –1 , r g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 20 м , , v y 0 = 50 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 146. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 39). Модуль силы изменяется по закону F=4t 3 . Начальная скорость V 0 =5 м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t ), y (t ) и уравнение траектории точки y = y (x ).

Задача 147. Телу M массы m = 20 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 2 м/с x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 148. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v 0 . Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с

Задача 149. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг , притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна F=-k 2 mOM, k = 8 c g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 24 м , V x 0 =0, у 0 = 40 м , V y 0 =0. Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 150. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 10 c –1 , r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 2 м , v х 0 = 4 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 151. Парашютист массы mпадает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.

Задача 152. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы M=100 кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги F=5000 H, направленной под углом к горизонту (). Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Задача 153. Телу M массы m = 28 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 34 м/с , направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 154. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01mg , начинает подниматься с глубины H=100 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01mg . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01mV x , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x ) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 155. При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему равна начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v 0 . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 156. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м . Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v 0 = 600 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 157. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда , максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v 0 = 980 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 158*. Считая Землю шарообразной, найти зависимость ускорения силы тяжести Земли от широты местности. Вычислить g на полюсе, экваторе и на широте Одессы

Задача 159*. Найти изменение ускорения силы тяжести тела на глубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорение силы тяжести составит 0,3 от ускорения силы тяжести на поверхности Земли? Плотность земли считать постоянной. Считать, что со стороны вышележащего слоя тело не испытывает никакого притяжения.

Задача 160*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R x = –0.1m , где V x – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t ), y (t ), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.

Задача 161*. Тело M массы m = 8 кг k = 20 c O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), a = 24 м . Движение начинается в точке A 0 (–2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 18 м/с . Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.

Задача 162*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения F 1 =-k 2 mO 1 M, F 2 =-k 2 mO 2 M, k = 120 c –1 , направленных к двум неподвижным центрам O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), а = 12 м . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Движение начинается в точке A 0 (2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 12 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M . Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени.

Задача 163*. Материальная точка M F = 0.1mg , силы сопротивления R = –0.1mV ,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2m v x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси y, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .

Задача 164*. Тело массы m на высоте H=500 м над поверхностью Земли имело скорость V 0 =7 м/с , направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . В результате на него действует сила где V r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.

Задача 165*. Парашютист массы m, совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =40 м/с . На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u 0 = 0.5 м/с ,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV rx , где V rx – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R y = –0.1m , где V y – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t ), y (t ) после раскрытия парашюта.

Задача 166*. Материальная точка M массы m движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2mg , силы сопротивления R = –0.1mV , где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q=2mV x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси x, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .

Задача 167*. Парашютист массы m с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t ), y (t ). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R х = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста относительно потока воздуха.

Похожая информация.

В некоторых задачах используется понятие "плавучесть", означающее разность между подъемной силой Архимеда и силой тяжести. Звездочкой помечены задачи повышенной сложности (варианты 116–123).

Задача 91. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01mg м. Т = 0.01mg . Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1mV .Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 92. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения, k = 20 с –1 g = 9.8 м/с , v x 0 = 200 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy

Задача 93. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001mg . Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mgV , где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.

Задача 94. Точка M массы m = 5 кг O k = 20 c –1 , r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M 0 (a ,0), a = 24 м , и скорость v 0 с проекциями v x 0 = 0, v y 0 = 4 м/с . Определить закон движения и траекторию точки M

Задача 95. р = 0.001mg , начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной, где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 96. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U 0 = 0.5 м/с р = 0.5mg , начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной, где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 97. Телу M массы m = 8 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 19), сообщена начальная скоростьv 0 = 18 м/с , направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y g = 9.8 м/с x (t ), y (t ).

Рис.19

Задача 98. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U 0 = 0.5 м/с , получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной.Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 99. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда м достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v 0 и. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с Начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 100. Береговое орудие, расположенное на высоте м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U 0 = 1500 м/с . Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t ), y (t ), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной, где – горизонтальная скорость снаряда.

Задача 101. Определить закон движения x (t ), y (t ) материальной точки M массы m = 8 кг , притягиваемой к неподвижному центру O k = 12 c –1 . В начальный момент времени () х 0 = 18 м , v y 0 = 6 м/с . Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 102. Материальная точка массы m Oxy . Модуль силы изменяется по закону. Начальная скорость м/с направлена под углом () к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x ).

Задача 103. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону, где k = 12 c –1 , r g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 20 м , v y 0 = 50 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 104. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 19). Модуль силы изменяется по закону. Начальная скорость м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t ), y (t ) и уравнение траектории точки y = y (x ).

Задача 105. Телу M массы m = 20 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v 0 = 2 м/с x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 106. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v 0 . Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с

Задача 107. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг , притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна, k = 8 c g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 24 м , у 0 = 40 м , . ОсьOx горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 108. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону, где k = 10 c –1 , r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 2 м , v х 0 = 4 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 109. Парашютист массы падает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На высоте м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.

Задача 110. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги, направленной под углом к горизонту. Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Задача 111. Телу M массы m = 28 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v 0 = 34 м/с , направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 112. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01mg , начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01mg . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x ) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 113. При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему равна начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v 0 . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 114. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м . Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v 0 = 600 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 115. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда, максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v 0 = 980 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 116*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R x = –0.1mV , где – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t ), y (t ), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.

Задача 117*. Тело M массы m = 8 кг k = 20 c O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0),a = 24 м . Движение начинается в точке A 0 (–2a ,0) со скоростью, v у 0 = 18 м/с . Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.

Задача 118*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения, k = 120 c –1 , направленных к двум неподвижным центрам O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0),а = 12 м . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Движение начинается в точке A 0 (2a ,0) со скоростью, v у 0 = 12 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M . Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени.

Задача 119*. Материальная точка M F = 0.1mg , силы сопротивления R = –0.1mV ,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2m v x , где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси, если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с .

Задача 120*. Тело массы на высоте м над поверхностью Земли имело скорость м/с , направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . В результате на него действует сила где V r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.

Задача 121*. Парашютист массы, совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u 0 = 0.5 м/с ,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV rx , где – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R y = –0.1mV , где – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t ), y (t ) после раскрытия парашюта.

Задача 122*. Материальная точка M массы движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2mg , силы сопротивления R = –0.1mV , где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы, где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси, если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с .

Задача 123*. Парашютист массы с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На высоте м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t ), y (t ). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R х = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость парашютистаотносительно потока воздуха.

Пример 13. Научно-исследо­ватель­ская подводная лодка шарообразной формы и массы m = = 1.5×10 5 кг начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v х 0 = 30 м/с и отрицательную плавучесть Р 1 = 0.01mg , где – векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q и силы тяжести mg , действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды, кг/с . Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.

Рис.20

Решение. Начало координат выберем в начальном положении лодки, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy – вертикально вниз (см. рис. 20). На лодку действуют три силы: P=mg – вес лодки, Q – архимедова выталкивающая сила, причем, и сила сопротивления R . Лодку примем за материальную точку M . Тогда второй закон Ньютона запишется так: . В проекциях на оси Ox и Oy он будет иметь вид: , . Перепишем эти уравнения в форме системы уравнений первого порядка

Интегрируя их методом разделения переменных, получаем

После интегрирования и подстановки численных значений параметров и начальных данных находим

Закон движения находим из решения дифференциальных уравнений

Он описывается соотношениями

В заключение найдем траекторию y (x ). Для этого из первого уравнения выразим время t через координату х

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное . С прямолинейным движением мы научились работать на предыдущих уроках, а именно решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (рис. 1) относительно прямолинейного и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на участки прямолинейного движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (рис. 3). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. К тому же примеры движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории (рис. 4). Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по дуге окружности (рис. 5).

Рис. 5. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке равен модулю скорости тела в точке :

Однако вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (рис. 6):

Рис. 6. Вектор разности скоростей

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

Это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что, даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется. Однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (рис. 7). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 7. Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле:

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 8. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки и (рис. 8). Рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками и . Очевидно, что точка совершила большее перемещение, чем точка . Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется

Однако если внимательно посмотреть на точки и , можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения . Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности можно использовать угловые характеристики.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. По аналогии можно дать определение равномерного движения по окружности.

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью равномерного движения ( называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое произошел этот поворот.

В физике чаще всего используется радианная мера угла. Например, угол в равен радиан. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду:

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка проходит при вращении дугу длиной , поворачиваясь при этом на угол . Из определения радианной меры угла можно записать:

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей:

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Такая зависимость линейной и угловой скоростей используется в геостационарных спутниках (спутники, которые всегда находятся над одной и той же точкой земной поверхности). Благодаря таким спутникам мы имеем возможность получать телевизионные сигналы.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в СИ:

Частота вращения – физическая величина, равная количеству оборотов, которое тело совершает за единицу времени.

Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Подставляя эти выражения в зависимость между угловой и линейной скоростью, можно получить зависимость линейной скорости от периода или частоты:

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения) и нашли соотношения между ними.

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Википедия ().

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10
2. Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.

Плис В. О динамике криволинейного движения // Квант. -·2005. - №2. - С. 30-31, 34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Из школьного курса физики известно, что равномерное движение по окружности - так называют движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью - есть движение с ускорением.

Это ускорение обусловлено равномерным изменением с течением времени направления скорости точки. В любой момент времени вектор ускорения направлен к центру окружности, а его величина постоянна и равна

где υ - линейная скорость точки, R - радиус окружности, ω - угловая скорость радиуса-вектора точки, T - период обращения. В этом случае ускорение называют центростремительным, или нормальным, или радиальным.

Очевидно, что возможно криволинейное движение не только по окружности и не обязательно равномерное. Поговорим немного о кинематике произвольного криволинейного движения. Тем более что в прошлом году в программу вступительных экзаменов по физике, например в МГУ им. М.В.Ломоносова, включили вопрос об ускорении материальной точки при произвольном движении по криволинейной траектории.

Рассмотрим сначала неравномерное движение материальной точки по окружности. При таком движении изменяется со временем не только направление вектора скорости , но и его величина. В этом случае приращение вектора скорости за малое время от t до t + Δt удобно представить в виде суммы: (рис. 1). Здесь - касательная тангенциальная составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости и обусловленная приращением величины вектора скорости на , а - нормальная составляющая, обусловленная (как и в случае равномерного движения по окружности) вращением вектора скорости. Тогда естественно и ускорение представить в виде суммы касательной (тангенциальной) и нормальной составляющих:

Для проекций вектора ускорения на касательное и нормальное направления справедливы соотношения

Отметим, что касательная составляющая a τ ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости, а нормальная составляющая а n характеризует быстроту изменения направления скорости. По теореме Пифагора,

В случае движения по произвольной криволинейной траектории все указанные соотношения также справедливы, при этом в формуле для нормального ускорения а n под величиной R надо понимать радиус такой окружности, с элементарной дужкой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности того места, где находится движущаяся материальная точка. Величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач на криволинейное движение, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах и олимпиадах по физике в ведущих вузах страны.

Задача 1 . Камень брошен со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите радиус R кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения g известно.

Для ответа на вопрос задачи воспользуемся соотношением для нормального ускорения:

В малой окрестности точки старта υ = υ 0 (рис. 2). Нормальное ускорение а n есть проекция ускорения свободного падения g на нормаль к траектории: а n = g· cos α. Это дает

Задача 2 . Определите вес P тела массой m на географической широте φ. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно g . Землю считайте однородным шаром радиусом R .

Напомним, что вес тела - это сила, обусловленная тяготением, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли. На него действуют сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила реакции опоры (рис.3). По третьему закону Ньютона, . Поэтому для определения веса тела найдем силу реакции .

В инерциальной системе отсчета, центр которой находится в центре Земли, тело равномерно движется по окружности радиусом r = R· cos φ с периодом одни сутки, т.е. T = 86400 с, и циклической частотой

7,3·10 –5 с –1 .

Ускорение тела по величине равно

а n = ω 2 ·r = ω 2 ·R· cos φ

и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции опоры тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда при 0 < φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на радиальное направление:

и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит движение:

Исключая α из двух последних соотношений, находим вес тела, покоящегося на вращающейся Земле:

Задача 3 . Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно L = 2,62·10 5 а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом T = 80 лет и достигает наибольшего значения φ = 0,85·10 –5 рад. Определите суммарную массу М звезд. Постоянная всемирного тяготения G = 6,67·10 –11 (Н·м 2 /кг 2), 1 а.е = 1,5·10 11 м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Под действием гравитационных сил

звезды движутся равномерно с периодом T по окружностям радиусов r 1 и r 2 вокруг центра масс системы со скоростями υ 1 и υ 2 соответственно (рис. 4).

По второму закону Ньютона,

Сложив эти равенства (после сокращения на m 1 и m 2 соответственно), получим

Отсюда с учетом соотношений

приходим к ответу

= 3,5 10 27 кг.

Задача 4 . На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис. 5). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ , наклоненный к горизонту под углом α. Однородный шарик радиусом R может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика ρ 0 , плотность воды ρ, ρ 0 < ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии L от этого конца. С какой по величине силой F шарик действует на стержень? Какова угловая скорость ω вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости ω min шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Обозначим объем шарика V . На шарик будут действовать три силы: сила тяжести ρ 0 ·V ·g , сила нормальной реакции N со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда F A . Найдем архимедову силу.

Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом r в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение а n = ω 2 ·r. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:

F A z = ρ·V ·g ,

а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение а n = ω 2 ·L ·cos α и по величине равна

F A n = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α.

Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом L ·cos α в горизонтальной плоскости (рис. 6).

По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим

ρ·V ·g – ρ 0 ·V ·g – N ·cos α = 0.

Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем

ρ 0 ·V ·ω 2 ·L ·cos α = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α – N ·sin α.

Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:

и угловую скорость:

Как видим, с ростом угловой скорости ω расстояние L уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, , при этом

Задача 5 . Однородную цепочку длиной L R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением a t будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки ρ. Ускорение свободного падения g .

Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной ΔL = R ·Δφ (рис. 7). Его масса равна Δm = ρ·ΔL . Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем

Перепишем полученное соотношение в виде

Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:

Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. , что ускорение a τ одинаково у всех элементарных фрагментов, , и получим

Задача 6 . Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии R /2 от оси, где R - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость υ 1 паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге μ = 0,4, радиус колеса R = 0,8 м, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .

Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис. 8). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной.

До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом r = R /2. По второму закону Ньютона,

Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен а = ω 2 ·r ,где ω - угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой β. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что F тр ≤ μ·N , получаем

Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству

Наибольшее значение выражения

где угол α таков, что и ,достигается при β = α и равно . Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству

Отсюда для искомой скорости паровоза υ 1 получаем

= 2,4 м/с.

Задача 7 . Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности BD радиусом R = 5 м (рис. 9). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью υ 0 = 10 м/с. Определите величину ускорения шайбы в точке С и угол β, который вектор ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус ОС образует с вертикалью угол α = 60°. Ускорение свободного падения g =10 м/с 2 .

Для нахождения ускорения шайбы в точке С найдем тангенциальную a τ и нормальную a n величины составляющих ускорения в этой точке.

На тело, движущееся в вертикальной плоскости по дуге BD ,в любой точке действуют силы тяжести m· g и реакции опоры N . По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление:

m· a τ = –m· g ·sin α, откуда a τ = –g ·sin α ≈ –8,7 м/с 2 .

Для определения нормальной составляющей ускорения найдем величину υскорости шайбы в точке С (поскольку ). Обратимся к энергетическим соображениям. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части желоба будем считать равной нулю. Тогда, по закону сохранения полной механической энергии,

= 10 м/с 2 .

Величину ускорения шайбы в точке С найдем по теореме Пифагора:

≈ 13,2 м/с 2 .

В точке С вектор ускорения образует с нитью угол β такой, что

≈ 0,87, откуда β ≈ 41°.

Задача 8 . По гладкой проволочной винтовой линии радиусом R с шагом h , ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой m . За какое время T бусинка опустится по вертикали на Н ? С какой по величине F силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения g .

На бусинку действуют силы тяжести и нормальной реакции , где направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка 10), а лежит в одной плоскости с векторами и .

Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим a τ = g ·sin α. Здесь α - угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что

По закону сохранения энергии,

Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем

Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью υ· sin α. В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом R со скоростью υ· cos α, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна . Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с , нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).

Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:

где .

По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой, величина (модуль) которой равна

Упражнения

1. Сферический воздушный шар радиусом R = 5 м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте H = 6 м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью υ 0 следует бросать камень и на каком расстоянии s от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания?

Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно g = 10 м/с 2 .

2. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой h = 3,610 4 км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора. Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом. Какую по величине и направлению силу тяги F должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m = 10 3 кг, Санкт-Петербург находится на широте φ = 60°, радиус Земли R = 6,4 10 3 км.

3. По гладкому столу движутся два тела с массами m 1 и m 2 ,соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной L .В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна υи перпендикулярна нити. Найдите силу T натяжения нити.

4. Однородную цепочку массой m и длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R = 4L так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину T mах силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание : для рассматриваемых в задаче углов считайте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.

5. В задаче 6 из текста статьи найдите скорость υ 2 , при которой ящик начнет подпрыгивать.