Определение обратной функции и ее свойства: лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи. Доказательства свойств и теорем.
СодержаниеСм. также: Определение функции, верхней и нижней граней, монотонной функции.
Определение и свойства
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y
можно поставить в соответствие только один элемент множества X
,
для которого .
Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией
к .
Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке .
Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей - .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале .
Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на полуинтервале или , то на полуинтервале или определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Здесь .
Если строго возрастает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Если строго убывает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Эта теорема доказывается тем же способом, что и теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале.
Примеры обратных функций
Арксинус
Графики y = sin x и обратной функции y = arcsin x .
Рассмотрим тригонометрическую функцию синус : . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от -1 до +1 . Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .
Логарифм
Графики y = 2 x и обратной функции y = log 2 x .
Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .
Квадратный корень
Графики y = x 2 и обратной функции .
Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .
Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n
Докажите, что уравнение , где n - натуральное, - действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n .
Рассмотрим функцию от переменной x
:
(П1)
.
Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности , покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции . Поскольку ,
то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.
Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа ,
связанные неравенствами:
,
,
.
Нам нужно показать, что .
Введем переменные .
Тогда .
Поскольку ,
то из (П2) видно, что .
Или
.
Строгое возрастание доказано.
Найдем множество значений функции при .
В точке ,
.
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли . При имеем:
.
Поскольку ,
то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, ,
.
Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция .
То есть для любого существует единственное ,
удовлетворяющее уравнению .
Поскольку у нас ,
то это означает, что для любого ,
уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n
из числа x
:
.
Доказательства свойств и теорем
Доказательство леммы о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
Докажем, что она имеет обратную функцию. Исходя из , нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа ,
так что .
Пусть при этом .
Иначе, поменяем обозначения, чтобы было .
Тогда, в силу строгой монотонности f
,
должно выполняться одно из неравенств:
если f
строго возрастает;
если f
строго убывает.
То есть .
Возникло противоречие. Следовательно, имеет обратную функцию .
Пусть функция строго возрастает. Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
.
То есть нам нужно доказать, что если ,
то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . Этот случай отпадает.
Пусть .
Тогда, в силу строгого возрастания функции ,
,
или .
Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать эту лемму и для строго убывающей функции.
Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций
Пусть - произвольная точка графика прямой функции :
(2.1)
.
Покажем, что точка ,
симметричная точке A
относительно прямой ,
принадлежит графику обратной функции :
.
Из определения обратной функции следует, что
(2.2)
.
Таким образом, нам нужно показать (2.2).
График обратной функции y = f -1 (x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x .
Из точек A
и S
опустим перпендикуляры на оси координат. Тогда
,
.
Через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть прямые пересекаются в точке C . На прямой строим точку S так, чтобы . Тогда точка S будет симметрична точке A относительно прямой .
Рассмотрим треугольники и .
Они имеют две равные по длине стороны: и ,
и равные углы между ними: .
Поэтому они конгруэнтны. Тогда
.
Рассмотрим треугольник .
Поскольку ,
то
.
Тоже самое относится к треугольнику :
.
Тогда
.
Теперь находим и :
;
.
Итак, уравнение (2.2):
(2.2)
выполняется, поскольку ,
и выполняется (2.1):
(2.1)
.
Так как мы выбрали точку A
произвольно, то это относится ко всем точкам графика :
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику обратной функции .
Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику функции .
Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть обозначает область определения функции - отрезок .
1.
Покажем, что множеством значений функции является отрезок :
,
где .
Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума и максимума . Тогда по теореме Больцано - Коши функция принимает все значения из отрезка . То есть для любого существует , для которого . Поскольку и есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке только значения из множества .
2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно вышеприведенной , существует обратная функция , которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает ; и убывает, если убывает ). Областью определения обратной функции является множество , а множеством значений - множество .
3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.
3.1. Пусть есть произвольная внутренняя точка отрезка : . Докажем, что обратная функция непрерывна в этой точке.
Пусть ей соответствует точка .
Поскольку обратная функция строго монотонна, то есть внутренняя точка отрезка :
.
Согласно определению непрерывности нам нужно доказать, что для любого имеется такая функция ,
при которой
(3.1)
для всех .
Заметим, что мы можем взять сколь угодно малым. Действительно, если мы нашли такую функцию , при которой неравенства (3.1) выполняются при достаточно малых значениях , то они будут автоматически выполняться и при любых больших значениях , если положить при .
Возьмем настолько малым, чтобы точки и принадлежали отрезку :
.
Введем и упорядочим обозначения:
.
Преобразуем первое неравенство (3.1):
(3.1)
для всех .
;
;
;
(3.2)
.
Поскольку строго монотонна, то отсюда следует, что
(3.3.1)
,
если возрастает;
(3.3.2)
,
если убывает.
Поскольку обратная функция также строго монотонна, то из неравенств (3.3) следуют неравенства (3.2).
Для любого ε > 0 существует δ , так что |f -1 (y) - f -1 (y 0) | < ε для всех |y - y 0 | < δ .
Неравенства (3.3) определяют открытый интервал, концы которого удалены от точки на расстояния и .
Пусть есть наименьшее из этих расстояний:
.
В силу строгой монотонности ,
,
.
Поэтому и .
Тогда интервал будет лежать в интервале, определяемом неравенствами (3.3). И для всех значений ,
принадлежащих ему будут выполняться неравенства (3.2).
Итак, мы нашли, что для достаточно малого ,
существует ,
так что
при .
Теперь изменим обозначения.
Для достаточно малого ,
существует такое ,
так что
при .
Это означает, что обратная функция непрерывна во внутренних точках .
3.2. Теперь рассмотрим концы области определения. Здесь все рассуждения остаются теми же самыми. Только нужно рассматривать односторонние окрестности этих точек. Вместо точки будет или , а вместо точки - или .
Так, для возрастающей функции ,
.
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Для убывающей функции ,
.
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть обозначает область определения функции - открытый интервал .
Пусть - множество ее значений. Согласно приведенной выше , существует обратная функция ,
которая имеет область определения ,
множество значений и является строго монотонной (возрастает если возрастает и убывает если убывает ). Нам осталось доказать, что
1)
множеством является открытый интервал ,
и что
2)
обратная функция непрерывна на нем.
Здесь .
1.
Покажем, что множеством значений функции является открытый интервал :
.
Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений функции имеет нижнюю и верхнюю грани:
.
Здесь и могут быть конечными числами или символами и .
1.1. Покажем, что точки и не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком .
Если или является бесконечно удаленной точкой : или , то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.
Пусть (или ) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка (или ) принадлежит множеству значений функции .
То есть существует такое ,
для которого (или ). Возьмем точки и ,
удовлетворяющие неравенствам:
.
Поскольку функция строго монотонна, то
,
если f
возрастает;
,
если f
убывает.
То есть мы нашли точку, значение функции в которой меньше (больше ). Но это противоречит определению нижней (верхней) грани, согласно которому
для всех .
Поэтому точки и не могут принадлежать множеству значений функции .
1.2. Теперь покажем, что множество значений является интервалом , а не объединением интервалов и точек. То есть для любой точки существует , для которого .
Согласно определениям нижней и верхней граней, в любой окрестности точек и содержится хотя бы один элемент множества .
Пусть - произвольное число, принадлежащее интервалу :
.
Тогда для окрестности существует ,
для которого
.
Для окрестности существует ,
для которого
.
Поскольку и ,
то .
Тогда
(4.1.1)
если возрастает;
(4.1.2)
если убывает.
Неравенства (4.1) легко доказать от противного. Но можно воспользоваться , согласно которой на множестве существует обратная функция ,
которая строго возрастает, если возрастает и строго убывает, если убывает .
Тогда сразу получаем неравенства (4.1).
Итак, мы имеем отрезок ,
где если возрастает;
если убывает.
На концах отрезка функция принимает значения и .
Поскольку ,
то по теореме Больцано - Коши , существует точка ,
для которой .
Поскольку , то тем самым мы показали, что для любого существует , для которого . Это означает, что множеством значений функции является открытый интервал .
2. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке интервала : . Для этого применим к отрезку . Поскольку , то обратная функция непрерывна на отрезке , в том числе и в точке .
Теорема доказана.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Пусть имеется функция у=f(x), Х - ее область определения, Y - область значений. Мы знаем, что каждому х 0 соответствует единственное значение у 0 =f(х 0), у 0 Y.
Может оказаться, что каждому у (или ее части 1) соответствует тоже единственное х из Х.
Тогда говорят, что на области (или ее части ) определена функция x=y обратная для функции у=f(x).
Например:
X
=();
Y=}
Загрузка...