Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
|4| = 4
|1| = 1
Сравниваем найденные модули:
4 > 1
Отвечаем на вопрос:
4 > 1
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
|−3| = 3
|−1| = 1
Сравниваем найденные модули:
3 > 1
Отвечаем на вопрос:
−3 < −1
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».
Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет , чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1.
Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2.
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Пример 3. Сравнить числа 2,34 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34 больше, чем
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5.
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7 . Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
15,4 > 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
154000 > 21256
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
−0,152 > −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
−3,4 > −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Сравнение дробей. В этой статье разберём различные способы используя которые можно сравнить две дроби. Рекомендую посмотреть весь по дробям и изучать последовательно.
Прежде чем показать стандартный алгоритм сравнения дробей давайте разберём некоторые случаи, в которых сразу глядя на пример можно сказать которая из дробей будет больше. Здесь нет особой сложности, немного аналитики и всё готово. Посмотрите на следующие дроби:
В строке (1) сразу можно определить какая дробь больше, в строке (2) это сделать затруднительно и тут применим «стандартный» (или его можно назвать наиболее часто применяемым) подход для сравнения.
Способ первый – аналитический.
1. Перед нами две дроби:
Числители равны, знаменатели неравны. Какая из них больше? Ответ очевиден! Больше та, у которой меньше знаменатель, то есть три семнадцатых. Почему? Простой вопрос: Что больше – одна десятая часть от чего либо или одна тысячная? Конечно же, одна десятая.
Получается, что при равных числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Не имеет значения стоят ли в числителях единицы или другие равные числа, суть не меняется.
Дополнительно к этому можно добавить следующий пример:
Какая из данных дробей больше (х положительное число)?
На основании уже представленной информации не трудно сделать вывод.
*Знаменатель первой дроби меньше, значит она больше.
2. Теперь рассмотрим вариант когда в одной из дробей числитель больше знаменателя. Пример:
Понятно, что первая дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. А вторая дробь меньше единицы, поэтому без вычислений и преобразований можем записать:
3. При сравнении некоторых обыкновенных неправильных дробей явно видно, что у одной из них целая часть больше. Например:
В первой дроби целая часть равна трём, а во второй единице, поэтому:
4. В некоторых примерах также явно видно какая дробь больше, например:
Видно, что первая дробь меньше 0,5. Почему? Если выразить подробно, то:
а вторая больше 0,5:
Поэтому можно ставить знак сравнения:
Способ второй. «Стандартный» алгоритм сравнения.
Правило! Чтобы сравнить две дроби, необходимо чтобы знаменатели были равны. Тогда сравнение осуществляется по числителям. Больше будет та дробь, у которой больше числитель.
*Это и есть основное ВАЖНОЕ ПРАВИЛО, которым пользуются для сравнения дробей.
Если даны две дроби с неравными знаменателями, то необходимо их привести к такому виду, чтобы они были равны. Для этого используется дроби.
Сравним следующие дроби (знаменатели неравны):
Приведём их:
Как привести дроби к равным знаменателям? Очень просто! Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой.
Ещё примеры:
Обратите внимание, что знаменатель вычислять не обязательно (видно что они равны), для сравнения достаточно вычислить только числители.
*Все дроби, которые мы рассмотрели выше (первый способ) можно сравнить также используя этот подход.
На этом можно было бы закончить … Но есть ещё один «беспроигрышный» способ сравнения.
Способ третий. Деление столбиком.
Посмотрите пример:
Согласитесь, что для того чтобы привести к общему знаменателю и затем сравнить числители необходимо выполнить относительно объёмные вычисления. Используем следующий подход — выполним деление столбиком:
Как только мы обнаруживаем разницу в результате, то процесс деления можно остановить.
Вывод: так как 0,12 больше чем 0,11, то вторая дробь будет больше. Таким образом, можно поступать со всеми дробями.
На этом всё.
С уважением, Александр.
Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .
Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.
Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.
Пример 1
Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .
Решение
Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .
Ответ: 87 126 > 65 126 .
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.
Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:
- найти общий знаменатель;
- сравнить дроби.
Рассмотрим данные действия на примере.
Пример 2
Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .
Решение
В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .
После сравнения дробей получаем, что 20 48 < 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .
Ответ: 5 12 < 9 16 .
Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d < b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.
Пример 3
Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .
Решение
Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .
Ответ: 5 18 > 23 86 .
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.
Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.
Рассмотрим на примере.
Пример 4
Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .
Решение
Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.
Ответ: 54 19 > 54 31 .
Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.
Сравнение дроби с натуральным числом
Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.
Пример 4
Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .
Решение
Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63 < 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .
Ответ: 63 8 < 9 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.
Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:
Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8
И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Применяем третье правило:
Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:
- Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом. Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18
и 23/86
.
Решение.
В этом примере a=5
, b=18
, c=23
и d=86
. Вычислим произведения a·d
и b·c
. Имеем a·d=5·86=430
и b·c=18·23=414
. Так как 430>414
, то дробь 5/18
больше, чем дробь 23/86
.
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей. Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями
: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше. Рассмотрим решение примера. Пример.
Сравните дроби 54/19
и 54/31
.
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19
дроби 54/19
меньше знаменателя 31
дроби 54/31
, то 54/19
больше 54/31
.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Загрузка...