Ние найдите наибольшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму
:
1
. Находим ОДЗ функции.
2
. Находим производную функции
3
. Приравниваем производную к нулю
4
. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5
. Находим точки максимума и минимума функции
.
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-"
.
В точке минимума функции
производная меняет знак с "-" на "+"
.
6
. Находим значение функции в концах отрезка,
затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1
. Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2
. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.
Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .
Предлагаю решать такие задания следующим образом:
1. Находим производную. 2. Находим нули производной. 3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу. 4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3. 5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).
В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .
Рассмотрим примеры:
77422. Найдите наибольшее значение функции у=х
3 –3х+4 на отрезке
[–2;0].
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.
Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:
Наибольшее значение функции равно 6.
Ответ: 6
77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.
Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:
Наименьшее значение функции равно –2.
Ответ: –2
77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.
Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:
Наименьшее значение функции равно 0.
Ответ: 0
77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
3х 2 – 4х + 1 = 0
Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.
Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.
Найдём значения функции в точках 1 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.
Находим значения функции в точках 0 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно –109.
Ответ: –109
Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).
77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].
Подставляем точки от –2 до 2:
Посмотреть решение
77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Постановка задачи 2:
Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.
Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.
Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.
Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума). Замечание:
«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».
Алгоритм решения задачи 2.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Пример 4:
Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Решение:
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .
Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .
В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.
Замечание:
Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.
Частный случай.
Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.
На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.
Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные
и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции
.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции
я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа
и в точке слева
.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности
функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке справа
, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева
, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной
– изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём
. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса.
…Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса
, непрерывная на отрезке
функция достигает своей точной верхней грани
и своей точной нижней грани
.
Число также называют максимальным значением функции на отрезке
и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке
с пометкой .
В нашем случае:
Примечание
: в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно!
Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции
, наибольшее значение функции
и наименьшее значение функции
– НЕ ТО ЖЕ САМОЕ
, что максимум функции
и минимум функции
. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!
Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо
!
Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:
1) Находим значения функции в критических точках
, которые принадлежат данному отрезку
.
Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует
, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.
Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.
2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.
3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение
:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Вычислим значение функции во второй критической точке:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :
Вот теперь всё понятно.
Ответ
:
Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:
Пример 6
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X
, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X
может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .
В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x)
.
Навигация по странице.
Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции
, что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции
y=f(x)
на промежутке X
называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки
– это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X
в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X
совпадают с границами области определения функции или интервал X
бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]
.
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на
. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2]
являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6)
.
На интервале
, о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y
) в стационарной точке с абсциссой x=1
, а наименьшее значение (min y
) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3
.
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2
справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2
является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3
. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
.
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок
.
Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке
(обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок
. Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a
и x=b
.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке
;
на отрезке [-4;-1]
.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по :
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков
и [-4;-1]
.
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2
. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок
.
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1
, а наименьшее значение – при x=2
.
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):
. График этой функции выглядит так:
на отрезке .
. При переходе через точки и производная меняет знак.
на отрезке .
. Она же непрерывна в точке слева
, если определена в данной точке и её левосторонний предел 
.
и всё!
, бесконечным промежутком .
, что для любого 
справедливо неравенство .
, что для любого 
достигается при x=1
, а наименьшее значение 
– при x=2
.
Загрузка...