Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)
Пример
. (задание из ОГЭ)
Решите неравенство методом интервалов \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Решение:
Ответ : \((7;7+\sqrt{11})\)
Пример
. Решите неравенство методом интервалов \(≥0\)
Решение:
|
\(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\) |
Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус. Преобразовываем скобки, с учетом того, что четвертая степень - четная (т.е. уберет знак минус), а третья – нечетная (т.е. не уберет). |
|
|
\(\frac{-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\) |
Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения |
|
|
\(\frac{(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≤0\) |
Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов. |
|
|
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\) |
Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки. |
|
 |
В промежутке от \(4\) до \(6\), знак не надо менять, потому что скобка \((x-6)\) в четной степени (см. пункт 4 алгоритма). Флажок будет напоминанием о том, что шестерка - тоже решение неравенства. |
Ответ : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)
Пример.
(Задание из ОГЭ)
Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:
|
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) |
Слева и справа есть одинаковые – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону |
|
|
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\) |
||
|
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\) |
Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую |
|
|
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\) |
Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. |
|
|
\((x-8)(x+8)≥0\) |
Теперь можно применять метод интервалов |
|
|
\(x=8;\) \(x=-8\) |
Запишем ответ |
Ответ : \((-∞;-8]∪; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств методом интервалов для более сложных неравенств. Рассмотрим решение дробно-линейных и дробно-квадратичных неравенств и сопутствующие задачи.
Теперь возвращаемся к неравенству
Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.
Найти наименьшее решение неравенства.
Найти число натуральных решений неравенства
Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.
2. Портал Естественных Наук ().
3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().
5. Центр образования «Технология обучения» ().
6. Раздел College.ru по математике ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).
Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
1. Рассмотрим, например, такое неравенство
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.
В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .
Где и - корни квадратного уравнения .
Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось на промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .
Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .
Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .
При левая часть неравенства отрицательна.
И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Ответ: .
Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .
Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:
Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .
(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).
Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.
Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.
2. Рассмотрим еще одно неравенство.
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">
Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.
При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :
При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :
При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :
Наконец, при class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :
Ответ: .
Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:
Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.
Ответ: .
В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!
4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:
Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .
И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:
Которое легко решается методом интервалов.
Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.
5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:
Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.
Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">
И после этого - применим метод интервалов .
Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
1. Рассмотрим, например, такое неравенство
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.
В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .
Где и - корни квадратного уравнения .
Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось на промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .
Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .
Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .
При левая часть неравенства отрицательна.
И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Ответ: .
Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .
Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:
Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .
(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).
Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.
Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.
2. Рассмотрим еще одно неравенство.
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">
Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.
При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :
При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :
При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :
Наконец, при class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :
Ответ: .
Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:
Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.
Ответ: .
В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!
4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:
Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .
И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:
Которое легко решается методом интервалов.
Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.
5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:
Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.
Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">
И после этого - применим метод интервалов .
Загрузка...