На отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:
→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.
В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.
В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна).
Период 3 влечёт хаос
Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых
Тогда для отрезков и выполнено
f(I_0)\supset I_1, \quad f(I_1)\supset I_0\cup I_1.
Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что
f^j(I_w) \subset I_{w_j}, \quad j=1,\dots,k-2,
f^{k-1}(I_w)=I_{w_{k-1}}.
Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено
f^{k}(I_w)\supset I_w, поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.
История
Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение , украинский математик А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» - узкие интервалы значений параметра (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума .
Напишите отзыв о статье "Порядок Шарковского"
Примечания
Литература
- А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
- Ю. А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
Отрывок, характеризующий Порядок Шарковского
В третьих, и самое непонятное, состоит в том, что люди, изучающие историю, умышленно не хотят видеть того, что фланговый марш нельзя приписывать никакому одному человеку, что никто никогда его не предвидел, что маневр этот, точно так же как и отступление в Филях, в настоящем никогда никому не представлялся в его цельности, а шаг за шагом, событие за событием, мгновение за мгновением вытекал из бесчисленного количества самых разнообразных условий, и только тогда представился во всей своей цельности, когда он совершился и стал прошедшим.На совете в Филях у русского начальства преобладающею мыслью было само собой разумевшееся отступление по прямому направлению назад, то есть по Нижегородской дороге. Доказательствами тому служит то, что большинство голосов на совете было подано в этом смысле, и, главное, известный разговор после совета главнокомандующего с Ланским, заведовавшим провиантскою частью. Ланской донес главнокомандующему, что продовольствие для армии собрано преимущественно по Оке, в Тульской и Калужской губерниях и что в случае отступления на Нижний запасы провианта будут отделены от армии большою рекою Окой, через которую перевоз в первозимье бывает невозможен. Это был первый признак необходимости уклонения от прежде представлявшегося самым естественным прямого направления на Нижний. Армия подержалась южнее, по Рязанской дороге, и ближе к запасам. Впоследствии бездействие французов, потерявших даже из виду русскую армию, заботы о защите Тульского завода и, главное, выгоды приближения к своим запасам заставили армию отклониться еще южнее, на Тульскую дорогу. Перейдя отчаянным движением за Пахрой на Тульскую дорогу, военачальники русской армии думали оставаться у Подольска, и не было мысли о Тарутинской позиции; но бесчисленное количество обстоятельств и появление опять французских войск, прежде потерявших из виду русских, и проекты сражения, и, главное, обилие провианта в Калуге заставили нашу армию еще более отклониться к югу и перейти в середину путей своего продовольствия, с Тульской на Калужскую дорогу, к Тарутину. Точно так же, как нельзя отвечать на тот вопрос, когда оставлена была Москва, нельзя отвечать и на то, когда именно и кем решено было перейти к Тарутину. Только тогда, когда войска пришли уже к Тарутину вследствие бесчисленных дифференциальных сил, тогда только стали люди уверять себя, что они этого хотели и давно предвидели.
Знаменитый фланговый марш состоял только в том, что русское войско, отступая все прямо назад по обратному направлению наступления, после того как наступление французов прекратилось, отклонилось от принятого сначала прямого направления и, не видя за собой преследования, естественно подалось в ту сторону, куда его влекло обилие продовольствия.
Если бы представить себе не гениальных полководцев во главе русской армии, но просто одну армию без начальников, то и эта армия не могла бы сделать ничего другого, кроме обратного движения к Москве, описывая дугу с той стороны, с которой было больше продовольствия и край был обильнее.
Передвижение это с Нижегородской на Рязанскую, Тульскую и Калужскую дороги было до такой степени естественно, что в этом самом направлении отбегали мародеры русской армии и что в этом самом направлении требовалось из Петербурга, чтобы Кутузов перевел свою армию. В Тарутине Кутузов получил почти выговор от государя за то, что он отвел армию на Рязанскую дорогу, и ему указывалось то самое положение против Калуги, в котором он уже находился в то время, как получил письмо государя.
УДК 515.16
ТЕПЛЯКОВ Вячеслав Васильевич, доцент кафедры методики преподавания математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 11 научных публикаций, в т. ч. одного учебного пособия
ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ШАРКОВСКОГО
В статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £: I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского.
Ключевые слова: Орбита, период, цикл, порядок Шарковского, удвоение периода.
Советский математик А.Н. Шарковский в 1964 году обнаружил удивительное явление в одномерной динамике, связанное со взаимоотношениями длин орбит периодических точек . Оказалось, например, что наличие орбиты длины 3 неизбежно влечет существование орбит всех остальных длин, а наличие орбиты длины 4 гарантирует только существование орбит длины 2 и 1, появление орбиты длины 6 влечет наличие орбиты любой четной длины и т. д.
В нашей работе мы, в частности, показываем, что существуют отображения с орбитами длины 6, не имеющие никаких орбит нечетной длины.
Теперь перейдем к точным формулировкам. Пусть имеется непрерывное отображение £:
I ^ I, где I с R - некоторый отрезок. Орбитой точки х0 е I называется множество 0(х0) = = £”(х0) | п = 1, 2,...}, где /п = £ °/°--°£■ Точка
© Старостина В.В., Тепляков В.В., 2013
х0 называется периодической, если существует п е N такое, что £ п(х0) = х0. Наименьшее такое п называется периодом точки х0, т. е. период точки - это длина ее орбиты (или количество точек в орбите). Конечную орбиту называют еще циклом. Формулировка теоремы Шарковского становится наиболее выразительной, если ввести новый порядок в множестве натуральных чисел, отличный от стандартного. Этот новый линейный порядок в N отражает найденную Шарковским зависимость между длинами орбит точек и называется порядком Шарковского:
3 > 5 > 7 > 9 > ... > 2к+1 >
2-3 > 2-5 > 2-7 > 2-9 > ... > 2-(2к+1) >
22 -3 > 22 - > 2 2 >
2т - > 2т ■ 5 >
2 п > 2 п-1 > > 22 > 21 > 1,
СТАРОСТИНА Вера Валерьевна, аспирант кафедры математического анализа института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
где р а,)^- читается как щ следует за р» или «р предшествует q». Таким образом, в первой строке стоят все нечетные числа в указанном порядке, за ними следуют они же, умноженные на 2. Каждая следующая строчка получается из предыдущей умножением на 2. И, наконец, в последней строчке идут чистые степени двойки в убывающем порядке.
Теорема Шарковского. Пусть I - отрезок на числовой прямой, а£: I ^ I - непрерывное отображение. Если £ имеет точку периода р и р 0 С доказательством теоремы Шарковского можно познакомиться в недавно переведенной на русский язык монографии , но наиболее подробное и понятное доказательство изложено в дипломной работе В.В. Старостиной, с которым можно ознакомиться на кафедре алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. В нашей статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £ I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского. Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 5, но не имеющее периода 3. Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5 следующим образом: £(1) = 3; £(2) = 5; £(3) = 4; £(4) = 2; £(5) = 1, а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 1). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 3, 4, 2, 5, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 5. Нарисуем графики £, £ 2 и £ 3 и покажем, что не существует орбиты периода 3 (рис. 1). Получаем, что уравнению £ 3(х) = х удовлетворяет только неподвижная точка построенного отображения£(х), значит, орбит длины 3 нет. Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 7, но не имеющее периода 5 и периода 3. Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 следующим образом: £(1) = 4; £(2) = 7; £(3) = 6; £(4) = 5; £(5) = 3; £(6) = 2; £(7) = 1, а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 2). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 4, 5, 3, 6, 2, 7, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 7. Нарисуем графики £, £ 3 и £ 5 и покажем, что не существует орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 2). На последнем графике видно, что решением уравнения £ 5(х) = х является только неподвижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет. Рис. 2. Пример отображения, имеющего все периоды, кроме 3 и 5 Пример 3 а на промежуточные отрезки распространено по Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 9, но не имеющее х = 1 имеет вид 1, 5, 6, 4, 7, 3, 8, 2, 9, 1, ..., т. е. £ периодов 7, 5 и 3. обладает периодом 9. Нарисуем графики/ £3, £5 и Пусть £ задано в точках 1 2 3 4 5 6 7 8 9 £7 и покажем, что не существует орбиты периода следующим образом: 7, орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 3). /(1) = 5; £(2) = 9; £(3) = 8; £(4) = 7; £(5) = 6; На последнем графике видно, что решени- £(6) = 4; £(7) = 3; А8) = 2; £(9) = 1 ем уравнения £7(х) = х является только непод- вижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет. Напрашивается общая идея построения дальнейших примеров для первой строки порядка Шарковского: в целочисленных узлах £ принимает значения согласно схеме (рис. 4), и определена как линейная функция на промежуточных точках. Для всякого непрерывного отображения £ ^ найдется непрерывное отображение л(л) -> , периоды которого равны удвоенным периодам отображения £ и еще период 1. Доказательство Пусть задано произвольное непрерывное Рис. 4. Схема построения примеров для первой строки порядка Шарковского Или, другими словами, чтобы построить непрерывное отображение £: ^ , имеющее период р = 2п + 1, у которого нет всех периодов, предшествующих р, достаточно взять решетку 2п х 2п и задать £ на целочисленных точках следующим образом: р + 1 £(1) = 2 ; £ (2) = р; £ (3) =р - 1; £(4) =р - 2; ...; £^ ^) = р-1 ;£^) = р-3; £ р+7) = р-5 ; . . . ;£ р + р) = £р) = 1, 2 2 2 а между этими точками отображение £ распространено по линейности. Теперь рассмотрим процедуру удвоения периода. Под удвоением периода мы понимаем переход от отображения £ к новому отображению а(периоды которого - это в точности удвоенные периоды отображения £ и еще период 1. отображение£: ^ . Зададим отображение £ следующей формулой: х-----, если х е и продолжим это отображение на отрезок линейным образом (рис. 5). Пусть для наглядности отображение £ имеет график, представленный на рис. 5а, тогда отображение £ имеет график, представленный на рис. 5б. Покажем, что отображение £ на отрезках имеет периодические точки, пери- оды которых равны удвоенным периодам точек отображения £, а на отрезке периодиче- ских точек нет, кроме неподвижной. Рис. 5. Пример удвоения периода, тогда £ (х) = 2 + £ (3х) по формуле (1). Учитывая, что / (х) принадлежит, то £ (£ (х)) = £ 2 + £ (3х))_(2 + £ (3х) 3 Сделав замену переменной, получим 7-2 (х ^ £(х) 2 I з" ] = 3^"’ Из этого равенства следует, что если у отображения £ имеется орбита длины п, то у £ появляется орбита длины 2п, располо- (см. лестницу женная на отрезках Ламерея на рис. 5б). Аналогично рассматривается случай, когда точка х0 е Наконец, если х0 е Отображение £ не имеет других периодических точек, кроме единственной неподвижной. Это легко увидеть на рис. 5б: на лестнице Ламерея видно, что ор- бита любой точки х0 е не содержит дру- гих точек отрезка отрезков 0,- 3 и,1 3 , (она состоит из точек и самой точки х0). Таким образом, отображение £ удваивает периоды отображения £. Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 2, но не имеющее периода 4. Пусть £ задано в точках 0, 1 следующим образом: и определено как линейная функция между этими точками. Тогда отображение £: ^ можно задать следующим образом: £(х) = 1 - х. Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 0, 1, ., т. е. £ обладает периодом 2. Покажем, что не существует точки периода 4. £ 2(х) = 1 - (1 - х) = х, таким образом, все точки отрезка удовлетворяют уравнению £ 2(х) = х. Следовательно, все точки отрезка имеют орбиту длиной не больше 2 (только у точки х = длина орбиты 1 2 равна 1, т. к. х = - неподвижная точка отобра- жения £). А это означает, что непрерывное отображение £ ^ не имеет периода 4. Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 4, но не имеющее периода 8. (Это будет означать, что нет и остальных периодов, предшествующих 8 в порядке Шарковского. Так как иначе, если бы отображение £ имело бы какой-то из этих периодов, то, по теореме Шарковского, у £ существовала бы периодическая точка периода 8). Воспользуемся результатом примера 4, в котором было построено непрерывное отображение £ ^ , заданное формулой £х) = 1 - х, имеющее только период 2 (и период 1 у неподвижной точки), и применим опи- санную выше в лемме процедуру удвоения периода к этому отображению: 1 - х, если х е х-, если х е и продолжим это отображение на отрезок по линейности (рис. 6). Построенные на этом рисунке графики отображений £, £ 2, £3, £4 и £ 8позволяют сделать вывод, что уравнение £ 8(х) = х не имеет других решений, кроме тех, что и уравнение £ 4(х) = х. Значит, орбит длины 8 нет, а потому нет орбит всех длин, предшествующих 8 в порядке Шар-ковского. Таким образом, с помощью процедуры удвоения периода можно построить отображение, имеющее период 21 и не имеющее всех предыдущих периодов. Применяя данную процедуру, можно конструировать примеры отображений периодов для всех остальных строк со второй до предпоследней. Приведем обещанный в начале статьи пример отображения, которое имеет орбиту длины 6 и не имеет никаких орбит нечетной длины. Для этого применим процедуру удвоения периода к отображению f, имеющему орбиту длины 3 (т. е. у f есть все периоды порядка Шарковского), в результате получим отображение7-^ с е орбиты которого имеют четную длину (и длину 6 в том числе), т. е. отображениее имеет орбит нечетной длины. Аналогично, чтобы построить отображение, имеющее, например, период 14, у которого нет всех предыдущих периодов в порядке Шарковского, нужно применить процедуру удвоения периода к отображению £, построенному в примере 2 (у него есть период 7, но нет предшествующих периодов). В результате получается отображение^ имеющ ее период 14 и все следующие за ним в" порядке Шарковского. Ясно, что{«хне имеет периодов, предшествующих 14 в пор ядке Шарковского, в противном случае отображение £ имело бы периоды, предшествующие 7, а это не так. Полученная нами схема построения примеров позволяет сказать, что открытая А.Н. Шар-ковским зависимость между периодами непрерывных ото бр ажений является строгой в том смысле, что для любого натурального п существует отображение, имеющее период п и не имеющее предыдущих периодов. Список литературы 1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999. 2. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украин. математ. журн. 1964. Т. 16, вып. 1. 1. Katok A.B., Khasselblat B. Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamicheskikh sistem . Moscow, 1999. 2. Sharkovskiy A.N. Sosushchestvovanie tsiklov nepreryvnogo otobrazheniya pryamoy v sebya . Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal, 1964, vol. 16, no. 1. Starostina Vera Valeryevna Postgraduate Student, Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia) Teplyakov Vyacheslav Vasilyevich Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia) AROUND SHARKOVSKY’S THEOREM The paper demonstrates the way of constructing examples showing that for any natural p there exists a continuous map f: I ^ I that has a period p and does not have any periods preceding p in Sharkovsky sequence. Keywords: orbit, period, cycle, Sharkovsky sequence, period doubling. Контактная информация: Старостина Вера Валерьевна адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68; e-mail: [email protected] Тепляков Вячеслав Васильевич адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68; e-mail: [email protected] Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова Связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского
утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом: → 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1. В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки. В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос
(стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна). Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых Тогда для отрезков и Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки. Исследуя унимодальные отображения, в частности, На отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского
утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:
→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …
→ 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → …
→ 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → …
…………………………………
→ 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.
В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки. В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос
(стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна). Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых Тогда для отрезков и выполнено Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки. Алексей Брониславович СОСИНСКИЙ, старший научный сотрудник института проблем механики РАН,
проректор по международным связям Независимого московского университета. Узел можно представлять себе как тонкую запутанную верёвку в пространстве, концы которой соединены. Простейший - тривиальный - узел вы видите на рисунке а). На рисунках б) и в) изображены нетривиальные узлы - соответственно, трилистник и восьмёрка. Развязать узел - значит деформировать его, не разрывая, в тривиальный узел. Например, узел рисунка г) развязать можно, а восьмёрку или трилистник - нельзя. Косой из n нитей называют набор из n попарно непересекающихся «восходящих» ломаных в пространстве, соединяющих точки A 1 , ...,
A n с точками B 1 , ...,
B n (в произвольном порядке). Пример косы из трёх нитей показан на рисунке д). Лекция 2 (21) 14.10.2000. Семеон Антонович БОГАТЫЙ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей
топологии и геометрии мехмата МГУ. Пусть f (x) = 1 –
x . Тогда f (f (x)) = 1 – (1 –
x) = x , причём f (1/2) =
1/2, и равенство f(x) = x выполнено только при x = 1/2. Точку 1/2 называют неподвижной точкой отображения f (или точкой периода 1), а все остальные точки - точками периода 2. Вообще, для функции f (x) можно рассмотреть её итерации f (f (x)),
f (f (f (x))),
f (f (f (f (x)))),... и спросить себя, существуют ли числа x , для которых, например,
f (f (f (x))) = x
(точки периода 3). Теорема украинского математика Шарковского (1964) утверждает, что если упорядочить натуральный ряд некоторым специальным образом (как именно - объяснено ниже), то для любого натурального числа n , для любого натурального числа m , расположенного в рассматриваемом упорядочении правее, чем n , и для любого непрерывного отображения f прямой в себя, обладающего точкой периода n , отображение f будет обладать и точкой периода m . Упорядочение натурального ряда, используемое в теореме Шарковского, устроено так: Доказательство теоремы опирается на теорему о среднем значении непрерывной функции и состоит в поиске периодической точки замкнутых путей в ориентированном графе. Борис Петрович ГЕЙДМАН, Лекция посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Были рассмотрены решения двадцати задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов: Эрнест Борисович ВИНБЕРГ, профессор кафедры алгебры мехмата МГУ. Как и плоские фигуры или пространственные тела, многочлены могут быть симметричны. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены - это многочлены, не меняющиеся ни при какой перестановке переменных. Всякий симметрический многочлен от двух переменных
x , y можно представить в виде многочлена от
x + y и xy , а всякий симметрический многочлен от трёх переменных x , y , z - в виде многочлена от x + y + z , xy + yz + zx
и xyz . Многочлен x 2 + y 2 + z 2 не меняется не только при перестановках переменных, но и при любых вращениях пространства. Можно доказать, что всякий многочлен с такой симметрией представим в виде многочлена от
x 2 + y 2 +
z 2 . Было рассказано о том, как описывать многочлены с данным типом симметрии, какие проблемы здесь возникают (например, 14-я проблема Гильберта). Лекция 5 (24) 4.11.2000. Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ, профессор мехмата МГУ. Можно ли сдвинуть блин на сковородке так, чтобы никакая его точка не осталась на месте? Почему нельзя причесать ежа? На эти и на многие другие вопросы можно ответить, пользуясь индексом вращения - одним из важных понятий топологии. Любую определённую на отрезке непрерывную функцию можно непрерывно продеформировать в любую другую (определённую на том же отрезке) непрерывную функцию. Оказывается, если множество аргументов и множество значений отображения - окружности, то аналогичное утверждение не имеет места. Более того, непрерывному отображению окружности в окружность можно сопоставить целое число - индекс вращения. Если индексы вращения двух отображений различны, то отображения негомотопны, то есть их нельзя продеформировать одно в другое. Если же индексы равны, то можно. Индексу вращения и некоторым его приложениям посвящена эта лекция. Владимир Георгиевич СУРДИН, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга (ГАИШ МГУ). Лекция будет состоять из двух частей. Первая посвящена изучению звёздных систем, состоящих из математических (идеальных) звёзд - точек, взаимодействующих по законам Ньютона и не меняющих свои массы. Вторая часть посвящена физическим (реальным) звёздам, способным изменять форму, размер и массу. Эта задача более сложна и требует современных высокоскоростных компьютеров для изучения эволюции звёздных систем. План лекции: Лекция 7 (26) 18.11.2000. Михаил Васильевич СМУРОВ, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ, член
методической комиссии Всероссийской математической олимпиады. Четырёхугольник является вписанным (описанным) тогда и только тогда, когда суммы величин (длин) его противоположных углов (сторон) равны. Прояснить связь этих теорем евклидовой геометрии поможет сферическая геометрия. Оказывается, хотя сумма углов сферического четырёхугольника больше 360°, признак вписанности в окружность тот же самый: суммы противоположных углов должны совпадать. А теорема об описанном четырехугольнике в сферической геометрии является прямым следствием теоремы о вписанном четырёхугольнике. Точнее, эти две теоремы двойственны. Что означает последнее слово, вы узнаете на лекции. Будут приведены и другие примеры двойственных утверждений. Лекция 8 (27) 25.11.2000. Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ, профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ. С простыми числами связаны многие теоремы и проблемы арифметики, столетиями не поддающиеся решению. В последнее время большие простые числа нашли неожиданные и разнообразные применения. Будут даны некоторые общие критерии простоты чисел, описаны некоторые классы простых чисел, доказан постулат Бертрана. Предполагается также сформулировать асимптотический закон
распределения простых чисел, рассказать о методе решета и проблеме Гольдбаха. Владимир Игоревич АРНОЛЬД, академик РАН. Цепная дробь - это выражение вида На лекции было рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Это связано с тем, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ею число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Было рассказано также о том, насколько часто среди элементов a 1 , a 2 , a 3 , ... цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). Оказывается, почти для всех вещественных чисел доля единиц больше доли двоек, которая больше доли троек, и т.д. Лекция 10 (29) 9.12.2000. Александр Васильевич МИХАЛЁВ, проректор МГУ, заведующий лабораторией вычислительных методов,
профессор кафедры алгебры мехмата МГУ. Было рассказано о возникновении понятия группы в математике, об элементах теории групп и о применении теории групп в алгебре, теории чисел, геометрии и естествознании. Лекция 11 (30) 16.12.2000. Иджад Хакович САБИТОВ, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, доктор физико-математических наук (доказавший постоянство объёма многогранника при его изгибании), лауреат премии имени Н.И. Лобачевского. Многоугольниками называют замкнутые ломаные без самопересечений. Для многоугольников в школьном курсе геометрии изучают такие характеристики, как сумма углов и площадь. Было рассказано, как определить суммы углов и площади для замкнутых ломаных с произвольными самопересечениями, как их вычислять и как они меняются при деформации ломаной. Был рассмотрен и ряд других задач геометрии замкнутых ломаных. Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН, учитель физики лицея «Вторая школа», член редколлегии журнала «Квант» (ведущий раздела физики «Задачника "Кванта"») , составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам. Мы обсудим обратимые и необратимые процессы,
проводимые с разреженными газами, поговорим о циклических процессах
и об их использовании в тепловых машинах. Далее разговор пойдет про
«обращённый» цикл - его часто называют «холодильным».
Мы разберёмся с тем, как можно затратить 100 джоулей работы и
получить при этом 1000 джоулей тепла, обсудим вопрос о том, может ли
тепло перетекать от холодного тела к горячему, постараемся понять,
как этот сложный вопрос решает холодильник, поговорим о теоремах
Карно, выясним, почему самый лучший на свете цикл Карно никто не
применяет на практике, а также обсудим многие другие вопросы. Лекция 13 (32) 10.02.2001. Юлий Александрович ДАНИЛОВ, старший научный сотрудник Российского Научного Центра «Курчатовский институт», переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга. Это новый класс твёрдых тел, полученный при поиске новых материалов в программе СОИ (стратегическая оборонная инициатива США). Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить материалы с необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза). Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о фёдоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства). Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ, профессор кафедры теории функций и функционального анализа мехмата МГУ. Математики часто рассматривают множества, между
элементами («точками») которых определено расстояние (метрика).
Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены
следующие аксиомы: расстояние d (x , y) между
любыми точками x и y
неотрицательно, причём d (x , y) = 0
тогда и только тогда, когда x = y ;
метрика симметрична, то есть d (x , y) =
d (y , x); наконец,
d (x , y) ≤ d (x , z) +
d (z , y) для любых трёх точек
x , y , z (неравенство треугольника). Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами, функциями и т.п. Например, расстоянием между двумя определёнными на отрезке непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций (впрочем, иногда ее рассматривать другие определения расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и применяют её для автоматического исправления ошибок при передаче информации. Многие метрические пространства разительно
отличаются от привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x , y , z может выполняться неравенство d (x , y) ≤ max(d (x , z),
d (z , y)). Такие пространства называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая
внутренняя точка круга является его центром. Пример неархимедовой метрики - p -адическая
метрика d (x , y) = p – k ,
где p - простое число, x , y - различные рациональные числа, k - такое целое
число, что x – y = p k ·
(m / n) и целые числа m и
n не делятся на p . Числа тем ближе
друг в смысле p -адической метрики, чем на большую степень числа p делится их разность. Подобно тому как снабжённое
обычной архимедовой метрикой множество рациональных чисел Q
можно пополнить до множества вещественных чисел, его (Q
)
можно пополнить и по p -адической метрике, получив поле p -адических чисел, которое широко применяют в арифметике и алгебре. Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ, профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах». Есть много важных причин, которые побуждают людей довать задачи на максимум и минимум (экстремальные задачи). Первые задачи на экстремум были решены в античной древности Евклидом, Архимедом и другими. В XVII веке выяснилось, что большинство явлений природы могут быть объяснены с помощью рассмотрений задач на экстремум. В том же столетии появились первые общие приёмы решения таких задач. Будет рассказано об этих приёмах и на их основе будут решены некоторые задачи геометрии (Евклида, Кеплера, Ферма), объяснены некоторые механические и оптические явления, исследованы некоторые задачи, возникающие в технике. Лекция 16 (35) 3.03.2001. Виктор Иванович ГОЛУБЕВ, cтарший научный сотрудник института микропроцессорных вычислительных систем (ИМВС РАН), соавтор книги «Факультативный курс математики. Решение задач. 11 класс», автор брошюры «Эффективные пути решения неравенств». Были продемонстрированы малоизвестные, эффективные и доступные широкой аудитории школьников 9–11 классов приёмы и методы решения уравнений и неравенств (в том числе с параметром). Овладение подобными приёмами и методами позволяет школьнику сэкономить силы и время на вступительных экзаменах и тем самым повысить свои шансы. Иджад Хакович Сабитов,
доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, лауреат международного конкурса им. Н.И. Лобачевского. С древних времён известна формула Герона
S 2 = p (p – a)(p – b)(p – c), выражающая площадь треугольника S через длины его сторон. Лекция посвящена её обобщению, позволяющему вычислять объём многогранника
по рёбрам и диагоналям граней. Отправной точкой послужит формула,
выражающая объём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно
найти во всех солидных справочниках по математике, но мало кто знает
её историю. На лекции будет рассказано об авторах этой формулы
(Тарталья и Эйлере) и разобраны её доказательства - как оригинальные, так и современные. Будет введён класс многогранников, объёмы которых можно вычислять, опираясь только на формулу для объёма тетраэдра. В
заключение будет сформулирована теорема, обобщающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и дающая, как простое следствие,
неизменность объёма изгибаемого многогранника (изгибанием называют акую непрерывную деформацию многогранника, в ходе которой меняется
хотя бы один его двугранный угол, но грани перемещаются как твёрдые пластинки, то есть без какого-то бы ни было изменения их формы). Лекция 18 (37) 17.03.2001. Александр Николаевич КАРПОВ, Один из наиболее замечательных объектов, изучаемых
в математическом анализе - канторово совершенное
множество. Оно получается выбрасыванием из отрезка
бесконечного множества интервалов. На первом этапе выбрасываем один
интервал: (1/3; 2/3). Затем - два интервала:
(1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Далее выбрасываем четыре
интервала: (1/27; 2/27), (7/27; 8/27), (19/27; 20/27)
и (25/27; 26/27). Вообще, на каждом следующем этапе мы делим
каждый отрезок, из которых состоит к этому моменту множество, на три
равные части и выбрасываем средние из этих частей. С помощью канторова множества удаётся строить
удивительные примеры. Один из них - канторова лестница.
Она является непрерывной функцией, обладающей на первый взгляд
несовместимыми свойствами: эта функция непрерывна на отрезке ,
постоянна почти во всех его точках, но не является постоянной
функцией. Другим примером, который будет подробно разобран на
лекции, является следующая задача. Из точки 0 в
точку 1 по числовой прямой движутся заяц и черепаха.
Они одновременно выходят из нуля, никогда не стоят на месте
(скорость в каких-то точках пути может быть равна нулю, но время
пребывания в таких точках также должно быть нулевым) и не
поворачивают обратно. Может ли так быть, чтобы для каждой точки пути
скорость зайца в момент прохождения этой точки была не меньше, чем
скорость черепахи в момент прохождения этой точки, но черепаха
пришла в единицу раньше, чем заяц? Ответ: такое возможно! Лекция 19 (38) 24.03.2001. Олег Рустумович МУСИН, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник географического факультета МГУ, автор многих олимпиадных задач, член жюри Всероссийской олимпиады. В последние десятилетия в научных и научно-популярных статьях и книгах все чаще стали появляться имена двух замечательных отечественных математиков Г.Ф. Вороного (1868–1908) и Б.Н. Делоне (1890–1980). Вклад этих ученых в
теорию чисел и геометрию значителен и хорошо известен специалистам. Но их имена стали особенно популярными не в среде «чистых» математиков, а среди исследователей, использующих приложения геометрии в самых различных областях науки и техники. Будет рассказано, что такое диаграмма Вороного и триангуляция Делоне, обсуждены их свойства и приложения к вычислительной геометрии. Практически все доказательства проводятся в рамках школьной геометрии (редкий случай, когда можно получать серьёзные результаты в современной науке, используя только элементарную математику!). Некоторые связанные с темой лекции задачи (например, о пустых и полных окружностях) появлялись на математических олимпиадах школьников. Целый ряд теорем (о среднем радиусе, гармоническом индексе, минимальной поверхности) был впервые доказан лектором и опубликован в специальной литературе. Были формулированы некоторые нерешённые математические проблемы. Лекция 20 (39) 31.03.2001. Геннадий Иванович ШИРМИН, кандидат физико-математических наук, доцент физического факультета МГУ. Динамическая астрономия - это раздел астрономии, занимающийся иссследованием движений небесных тел (поступательных, вращательных). Из методов динамической астрономии, которые позволяют определять орбиты небесных тел по даннным астрономических наблюдений, возникла почти вся прикладная и вычислительная математика. Основные вопросы, которые будут обсуждены на лекции, таковы: возникновение динамической астрономии, астрометрия как наблюдательно-экспериментальная база динамической астрономии, небесная механика как совокупность теоретических методов
исследования движений небесных тел, определение орбит, вычисление
эфемерид, прогнозирование движений небесных тел, устойчивость
солнечной системы, астероидная опасность, проверка всемирности
закона всемирного тяготения. Лекция 21 (40) 7.04.2001. Александр Николаевич КАРПОВ,
кандидат физико-математических наук, заместитель директора
Малого мехмата МГУ, учитель математики лицея «Вторая школа». В первой части лекции были рассмотрены две
классические задачи, использующие расходимость гармонического ряда, второй - две задачи А.В. Шаповалова о лабиринтах. Планировалось, что
лекцию 7.04.2001 прочитает С.И. Токарев на тему «Мои любимые
задачи», но лектор (живущий в Иваново) не смог приехать и лекция
была заменена.
Лекция 22 (41) 14.04.2001. Сергей Владимирович КОНЯГИН,
Задача определения того, является ли данное большое целое число простым, всегда привлекала внимание математиков. Долгое
время считалось, что она имеет лишь теоретический интерес. Однако
несколько десятков лет назад стало ясно, что построение больших
простых чисел важно для защиты информации. В лекции будет
рассказано: Лекция 23 (42) 21.04.2001. Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ, старший научный сотрудник Центрального экономико-математического
института РАН, учитель гимназии № 1543. Теорема Понселе - одна из самых сложных и красивых теорем элементарной геометрии. Она утверждает, что если некоторый
n -угольник вписан в окружность и описан около другой
окружности, то можно зафиксировать эти окружности и «вращать» между
ними многоугольник так, что его вершины будут все время лежать на
одной окружности, а стороны касаться другой (форма многоугольника
при этом может меняться и довольно существенно). Оказывается, такой «вращающийся» многоугольник
Понселе обладает многими интересными свойствами: например, его центр
тяжести описывает окружность, а центр тяжести точек касания его
сторон со вписанной окружностью неподвижен. Будут рассказаны результаты, полученные в
соавторстве с Г.Р. Челноковым. Некоторые из них можно доказать элементарными средствами. Для доказательства других приходится
привлекать значительно более мощный и сложный аппарат алгебраической
геометрии. Лекция 24 (43) 28.04.2001. Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ, заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор. В 1976 году издательство «Наука» выпустило книгу
В.Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях». Книга
рассказывает о группах перестановок, комплексных числах, римановых
поверхностях алгебраических функций. Дан вывод формул Кардано для
решения уравнений третьей степени, формул Феррари для уравнений
четвёртой степени, а также доказано, что уравнение пятой степени
неразрешимо в радикалах. В 2001 году издательство МЦНМО переиздало эту
книгу, являющуюся одной из лучших популярных книг по математике,
созданных в XX веке. И хотя книга настолько содержательна, что
трудно рекомендовать эту книгу школьнику младше 10 класса, но
любому, кто собирается сколько-нибудь серьёзно заняться математикой, эта книга в высшей степени полезна.Период 3 влечёт хаос
выполненоИстория
Период 3 влечёт хаос
Узлы и косы
Теорема Шарковского
сначала идут нечётные числа 3, 5, 7, 9, ...;
затем нечётные числа, умноженные на два: 6, 10, 14, 18, ...;
затем нечётные числа, умноженные на четыре: 12, 20,
28, 36, ...;
затем нечётные числа, умноженные на восемь: 24, 40,
56, 72, ...;
...,
наконец, степени двойки: ..., 1024, 512,
256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.Площади многоугольников
Симметрия многочленов
Можно ли причесать ежа?
Динамика звёздных систем
I. Математические звёзды: одна звезда и ее свита; двойные и кратные звёзды; одна среди равных (звезда в галактике); звёздные скопления; звёздные ассоциации.
II. Физические звёзды: звезда меняет массу (аккреция и звёздный ветер); звёзды обмениваются массой (тесные двойные системы); звезда меняет форму (приливные деформации); звезда, окруженная диском; звёздный мир в компьютере.Почему похожи теоремы о вписанном и описанном четырёхугольниках?
Простые числа
Цепные дроби
a 0 + 1 / (a 1 + 1 / (a 2 + 1 / (a 3 + ... .
Теория цепных дробей связана с теорией приближения вещественных чисел рациональными числами, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики.Теория групп в математике
Суммы углов, площади и деформации замкнутых ломаных
Обращённая тепловая машина
Квазикристаллы
Примеры метрических пространств
Экстремумы функций одной переменной
Решение уравнений и неравенств
Объёмы многогранников
Канторово совершенное множество
Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне
Динамическая астрономия
Избранные задачи
Проверка простоты чисел и малая теорема Ферма
Теорема Понселе
Теорема Абеля
Загрузка...