1. Проекция вектора на заданное направление.
Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. Приведём эти векторы к одному началу `O`.
Угол, образованный лучами, исходящими из точки `O` и направленными вдоль векторов `vec a` и `vec b`, называют углом между векторами `vec a` и `vec b`. Обозначим этот угол через `alpha`.
Число `a_b = a cos alpha` называется проекцией вектора `vec a` на направление вектора `vec b`. Проекция вектора `vec a` получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора `vec b` (рис. 10), тогда расстояние от общего начала векторов - точки `O` - до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор `vec b`, будет равно модулю проекции вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.
Угол `alpha` может принимать различные значения, поэтому в зави-симости от знака `cos alpha` проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль. Например, если угол `alpha` тупой, т. е. больше, чем `90^@`, но меньше `180^@`, то косинус такого угла отрицателен.
Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны.
Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.
Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.
2. Разложение вектора.
До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру - разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.
Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O` прямые `AO` и `OB`.
Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых. Для этого параллельным переносом совместим начало вектора `vec a` с точкой `O` пересечения прямых. Из конца вектора `vec a` проведём два отрезка прямых, параллельных `AO` и `OB`. В результате получится параллелограмм. По построению
| `vec a = vec(a_1) + vec(a_2)` | (*) |
Векторы `vec(a_1)` и `vec(a_2)` называются составляющими вектора `vec a` по заданным направлениям, а само представление вектора в виде суммы (*) - разложением вектора по двум направлениям.
В чём разница между проекцией вектора на ось и составляющей (компонентой) вектора вдоль этой оси?
Проекция вектора - скаляр; составляющая вектора вдоль этой оси - вектор, направленный вдоль этой оси.
Пусть `a = 1`, угол между прямыми `AO` и `OB` равен `phi = 45^@`, а угол между векторами `vec a` и `vec(a_1)` равен `phi = 15^@`. Определите модули векторов `vec a_1` и `vec a_2` в разложении (*), а также значения проекций вектора `vec a` на направления `vec(a_1)` и `vec(a_2)`.
`a_(a1) = a cos phi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos phi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.
откуда `a_1 = (sin phi_2)/(sin (phi_1 + phi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0,71`
и аналогично `a_2 = (sin 15^@)/(sin 45^@) ~~ 0,37`.
3. Проектирование вектора на оси координат.
Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j` назовём единичными векторами .
Перенесём вектор `vec a` так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть в этом положении он изображается направленным отрезком `AO`.
Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут составляющими вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)`будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` - коллинеарен вектору `vec j`.Следовательно, существуют такие числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:
| `vec a = vec(a_x) + vec(a_y) = a_x vec i + a_y vec j`. | (3) |
Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.
Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси - без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).
Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha`. Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.
В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Зная проекции вектора `vec a` на оси координат, можно найти его вели-чину и направление по формулам:
| `a = sqrt(a_x^2 + a_y^2)` | (4) |
| `bbb"tg" alpha = (a_y)/(a_x)` | (5) |
причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту при-надлежит значение `alpha`.
4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c`.
Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства
`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,
`c_x = a cos alpha + b cos beta`,
`c_y = a sin alpha + b sin beta`,
т. е. по проекциям векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.
Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:Пр a b = |b|cos(a,b) или
Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .
Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .
Классификация проекций вектора
Виды проекций по определению проекция вектора
Виды проекций по системе координат
Свойства проекции вектора
- Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
- Алгебраическая проекция вектора есть число.
Теоремы о проекциях вектора
Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.
Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
Пр a b = |b|cos(a,b)
Виды проекций вектора
- проекция на ось OX.
- проекция на ось OY.
- проекция на вектор.
| Проекция на ось OX | Проекция на ось OY | Проекция на вектор |
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 |
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 |
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  |
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  |
1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).
Пример 1
. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что 
.
Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.
Пример 2
. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.
Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.
Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.
Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).
Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .
Чтобы вычислить проекцию вектора
на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число.
Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,
отрицательной, если величина х к меньше величины х н
и равной нулю, если х к равно х н.
Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.
Из рисунка видно, что а x = а Cos α
то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора
. Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.
Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.
Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Ответ:
Свойства проекций:
Свойства проекции вектора
Свойство 1.
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: 
Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.
Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:
Свойство 3.
Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:
Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат
Ответ:
Орты осей.
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
В трёхмерном случае орты обычно обозначаются
И Могут также применяться обозначения со стрелками и
При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:
Разложение вектора по координатным ортам.
Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)
Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:
Если вектор 
расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
Координаты вектора:
Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).
Свойства координат.
Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.
Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.
Свойство 1. При сложении векторов на оси их координаты складываются.
Свойство 2. При умножении вектора на число его координата умножается на это число.
Скалярное произведение векторов. Свойства.
Ответ:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,
равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа
Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.
Ответ:
Скалярное произведение (×) орты
| (X) | I | J | K |
| I | |||
| J | |||
| K |
Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.
Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле
Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.
Ответ:
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном (показать как он показывал с «ручками»)
Векторным произведением вектора а на векторb называется вектор с который:
1. Перпендикулярен векторам а иb
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и b векторах
3. Векторы, a ,b , и c образуют правую тройку векторов
Свойства:
1. 
3. 
4. 
Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.
Ответ:
Векторное произведение координатных ортов.
Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.
Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.
Разложим а и b по базисным векторам:
а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.
Используя свойства векторного произведения, получаем
[а; b] = =
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)
По определению векторного произведения находим
= 0, = k, = - j,
= - k, = 0, = i,
= j, = - i. = 0.
Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:
[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i
[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.
Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:
Обычно формулу (З) записывают еще короче:
Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .
A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .
Определение 1
Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .
Пример 1
Пример проекции вектора на ось.
На координатной плоскости О х у задается точка M 1 (x 1 , y 1) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов (x 1 , 0) и (0 , y 1) .
Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.
Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.
Определение 2
Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.
Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .
Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .
Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.
Пример 2
Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Ответ: 4.
При известном cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.
Определение 3
Числовой проекцией вектора a → на ось, совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.
Пример 3
Задан b → = (- 3 , 4) . Найти числовую проекцию a → = (1 , 7) на L .
Решение
На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = (a x , a y) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
Ответ: 5.
Пример 4
Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Задано трехмерное пространство.
Решение
По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Ответ: - 6 7 .
Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:
Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следует n p b → a → = a → · cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .
Определение 4
Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:
- длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ (a → , b →) ^ < 90 ° ;
- ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда (a → , b → ^) = 90 ° ;
- длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° < a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Пример 5
Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.
Решение
Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 < 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Ответ: - 2 .
Пример 6
Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .
Решение
Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = (- 2 , 1 , 2) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Ответ: (- 6 , 3 , 6) .
Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Загрузка...